使函数f(x)=(a-x)|x-3a|(a∈R)在区间(-∞,b]上取得最小值3-4a的对应的x值有且仅有两个,求实数b的值

解：当x<3a时f(x)=-(a-x)(x-3a)=x^2-4ax+3a^2
当x=>3a时f(x)=(a-x)(x-3a)=-x^2+4ax-3a^2
根据a与0的三种关系,画出图像后分析可知

1'若a>0,则仅当f(b)=f(2a)=3-4a,且b>3a时,可满足题设条件.
解得a=1时b=2+√2,a=3时b=6+3√2
2'若a<0,则仅当f(3a)=f(a)=3-4a=0,且a=b时,可满足题设条件.
显然无解(因为由3-4a=0得a=3/4,但a<0).
3'若a=0,由于f(x)在R上单调递减,显然不可能有两个最值.